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一、证明题

1． 证明

【答案】分部积分，有

2． 证明：

【答案】设

在R 上严格增.

则

即

故

在

上严格増.

证明：

3． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1) . (2)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

. 存

在

存在

是A+B的一个上界.

使

得

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使得c=a+b, 则设

于是

，

于是并且

，故

(2) 同理可证.

4． 设

在

上连续. 证明函数

即

在

在

上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知

扩大而不减，因而

对

时有

一方面

，

(否则，

若

左连续). 于是当

即

时有

先证

是单调递増函数.

在点

左连续.

对

上处处有定义，又上确界随取值区间因为

在点

连续，

所以

在

上的最大值点

为时

有

，

即从

而当

于是当时，有则

当

另一方面，

设

再证

当又当由此可知

当

时，

有

故

综上所述，

在点连续. 由的任意性知

在

上连续.

在点右连续.

时，有时，

有

时，

有

又

是单调递增的，所以

当

二、解答题

5． 设

定义函数

【答案】函数

在D 上可积，且

证明：因为

在D 上的不连续点都分布在线段

则

于是

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上，

由可积的充分条件知

它们的面积分别为其积分和为

在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域

在上任取一点

6． 求下列不定积分：

【答案】

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