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一、选择题

1． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

则

=（ ）.

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

2． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解, 则（ ）.

A.

B. C.

D.

【答案】C 【解析】设与

的解空间分别为

则

所以

即证

3． 设A 为矩阵，

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

常数，则

的通解为（ ）.

A.

B.

C. D.

【答案】C 【解析】由于是非齐次线性方程组的三个线性无关的解， 所以

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

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为任意

又显然有基础解系.

考虑到

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

（否则与是. 矩阵，则. 则

有解矛盾），所以从而是的一个

的一个特解，所以选C.

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D

【解析】未知量个数有零解.

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

【答案】C 【解析】而

二、分析计算题

6． 计算

阶行列式的值

.

其中

【答案】行得

，且由组合公式知

将

的第1行乘

倍分别加到其它各

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7． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明:下面四个命题互相等价.

（1）T

是酉变换; （2）T 是同构映射；

（3）如果【答案】

取令所以

且

令

，其中为列向量，

则

由

知B 为酉矩阵.

取V 的一组标准正交基

由（4）知D 为酉矩阵，令

为标准正交基

可逆. 故丁是V 到V 的双射.

且

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是标准正交基，那么设T 是酉变换，即

也是标准正交基;

（4

）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵.

为V 的一组标准正交基，

且

. 为A 的列向量，

由有

也是标准正交基. 任取V 的一组标准正交基

，

由（3）知

也是标准正交基，

, 设

，其中D. 为列向量. 则

由⑦知

由于D 是酉矩阵，因此