2018年新疆大学数学与系统科学学院818高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
②
③
与
为空间的两组基, 且
①
则（ ）.
A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
将①代入④得
由②有
④
即 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
故.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
3． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设是3维向量空间的一组基,
则由基A.
到基
的过渡矩阵为（ ）.
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
B.
C.
D. 【答案】A
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A *的第1行与第2行得B *
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
即题设
因此
即
右乘初等阵
所以
得
解法2
所以有
*
*
**
二、分析计算题
6． 设V 是n 维欧几里得空间, 为其内积,
（1）对于短个给定的（2）映射f :【答案】（1）
所以是V 上的线性函数, 即
（2）
因为
所以故
类似可得若于是
则
故f 是单射. 注意到V 和
都是R 上的n 维线性空间, 则f 是双射, 故f 是V
到
为其对偶空间. 证明:
是
因为
中的一个元素. 的同构映射.
映射
是rt 维线性空间V 到
有
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