2018年青海民族大学数学院731高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
与
的解空间分别为
则
所以
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
则A=（ ）.
则
为（ ）.
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
与分别为A , B 的伴随矩阵，
则有（ ）.
A. 交换A *
的第1列与第2列得B *
B. 交换A *
的第1行与第2行得B *
C. 交换A *
的第1列与第2列得- B*
D. 交换A *
的第1行与第2行得- B*
【答案】C
【解析】解法1:题设所以有
又
所以有
即右乘初等阵
得
解法2
题设
所以
因此
即
5． 设
阶矩阵
若矩阵A 的秩为
则a 必为（ A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
故
或
但当a=1时，
秩
二、分析计算题
）
6． 设A , B 为n 阶方阵且矩阵且主对角线上元素为
【答案】由于
故A
满足
使
证明:存在可逆方阵P
, 使从而A 的最小多项式整除
与同时为对角无重根, A 可对角
化且特征根为. 于是存在可逆方阵
令
, 则由
得
即又由对
可得
从而
同理由上知, 存在可逆方阵
使
其中
令
则可得
.
由此得
为r
阶,
为
阶.
7． 设P 为数域，M 为形如
的循环矩阵的集合，则M 为【答案】易知M 为
的子空间，并求其的维数和一组基
的子空间，设
显然是M 中线性无关的向量. 因为