2018年信阳师范学院数学与信息科学学院815高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
所以
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
. 则
也不是线性变换，比如给
,
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
【答案】C 【解析】而
4． 设A 、B 为满足
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关
B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
5． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
时，
由
，用
使
则（ ）.
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
二、分析计算题
6． 下列多项式在有理数域上是否可约？
为奇素数；
为整数.
【答案】（1）如果可约则必为2个1次因式之积. 故必有有理根，但约.
无有理根，故不可
（2）方法1:因为没有有理根，所以没有1次因式.
如果有2次因式则可分解成两个2次整系数多项式之积，有两种情况：
或
这两种情况都无解，故可约.
方法2:取（3）记
根据艾森斯坦判别法.
不可约
. 不可约.
7． 设V 是实数域R 上三维向量空间,
又设线性变换试求（1）T 在（2） T 的逆变换（3）
在
在下
. 中的变换公式；
中的变换公式； 中的变换公式.
下的矩阵为A , 由①知
（2）
其中
（3）
8． 设U 是由
W 是由（1）
（2）
的维数与基底.
无2次因式.
因为这是一个4次多项式，如可约，则必有1次或2次因式. 所以这个多项式在有理数域上不
利用艾森斯坦判别法可证这个多项式在有理数域上不可约.
作替换. 不可约，故
则
也不可约
.
是V 的一组基.
【答案】 （1）设T 在基
生成的
生成的
的子空间，
的子空间，求
【答案】 （1）令
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