2018年青岛理工大学理学院816高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设c 实数
，是实数域上的n 维列向量，矩阵.
【答案】证法1:显然B 为对称阵，且当当证完. 证法2:显然
为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使
又
故
所以又
2． 设
，
故
的特征值均为正数，结合
是数域P 上两个不全为零的多项式. 令
证明存在【答案】方法1，
任意
故
又任意故
，现在令
，就有
方法2在S 中取一个最低次数的多项式式）. 对S 中任一多项式
，用
去除
（因
不全为零，S 中有非零的多项
则
. 设其商式和余式分别为
，
.
，使
不全为零，则
. 存在. 且存在
使
对称即得其为正定矩阵.
时，显然，时，
时
，
证明：n 级矩阵
为实正定
若，则. 但
，有
t
使
于是
它的次数故只能
3． 设
证明:【答案】因为
，与是中次数最低的多项式矛盾.
这就证明了
为n+1个向量, 且
线性无关
线性无关.
即
结合
问题得证.
4． 求下面行列式的所有根：
【答案】由加边法，在原行列式上加一行，加一列，则变为
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再按最后一个行列式的第一列展开得：
的根为
5．
计算n 阶行列式
【答案】解法1利用性质化为三角形行列式法. 各行都加到第一行，再从第一行提出余各行，便得
然后再将所得行列式的第一行乘一a 加到其
解法2利用性质化为三角形行列式另法.
先各行都减去第一行；再将所得行列式的各列都加到第一列，便得
解法3拆项法. 按第一列将
拆成两个行列式相加；再将其中第二个行列式的各行都减去第一行，即得