2017年杭州师范大学理学院726数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
(1) 当n 为正整数，且(2
)
所以
又因为
是以为周期的函数，所以
所以当(2) 由(1) 知，当
时，有
时，有
令
2． 设的点集D ,
【答案
】
可得
在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为
在D 上一致连续. 证明复合函数
因
为只要有又
在E 上一致连续。
使得对一
切
在E 上一致连续，于是
对上述
的
当
故复合函数
对一
切其
中
时有
在E 上一致连续.
只
要
从
而
就
有对一
切
在D 上一致连续，所
以
平面上
，时，证明:
【答案】(1) 因为
二、解答题
3． 设
(1) 求f (x ) 的傅里叶级数；
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(2) 级数是否收敛？是否收敛f (x ) ? (3) 级数在【答案】⑴
内是否一致收敛？
上
(2) f (x ) 满足收敛定理条件，所以f (x ) 的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在
(3) 因为f (x ) 的傅里叶级数的和函数在
内不连续，所以级数在
内不一致收敛.
4． 直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受浮力。
【答案】如图所示，球面在水深x 米处所受压力的微元为
故球面所受总压力为
由力的平衡可知，球面所受浮力为
图
5． 讨论函数项级数
【答案】当取当
时，时，
级数收敛.
，不趋于0, 所以不一致收敛.
即
于是，对于任意的
6． 将以下式中的
存在变换成球面坐标
当的形式：
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在(0, 1) 和
的一致收敛性.
所以
时，. 因此，级数一致收敛.
【答案】
故有
对上述变換
有
因为
所以
故
7． 求锥面
被柱面
所截部分的曲面面积.
且
设曲面面积为S ，则
8． 设
且
考察级数可知
而
所以
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由教材第2题的结果，得
对变换
【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为
的绝对收敛性。
【答案】由