2017年杭州师范大学理学院726数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1) (2) (1) 设(2) 设
右边
2． 设级数
证明：当下极限发散. 【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.
(2) 由
比较判别法知，级数
当n 足够大时，发散.
即
由
，
即
由比较判别法知级数
收
时，级数
收敛；当上极限
时，
则 右边
则
左边. 左边.
证明：
【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设
二、解答题
3． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，
若质点沿直线
到
【答案】设比例系数为k ，则点到因为力的方向指向原点，故其方向余弦为
其中
力的三个分力为
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求力所作的功.
平面的距离为z ，故
4． 计算线积分
【答案】如图所示
所以
其中ABC 为三点
连成的折线.
图
5． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
6． 试确定a 的值，使下列函数与当
时为同阶无穷小量：
【答案】（1）当
时，
因而
故当（2）
当
时
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内的平均角速度为
时
.
当时为同阶无穷小量.
即当（3）
于是当
时，
故当（4）
可以看出当
时，
故当
时，
与当
时
时
，
上
1时为同阶无穷小量
时
.
与
当
时为同阶无穷小量.
为同阶无穷小量.
7． 求下列全微分的原函数：
(1) (2) (3)
【答案】(1) 由于
从而积分与路径无关，其原函数
(2) 由于故其原函数
或(3) 由即
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从而积分与路径无关，
易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令
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