2017年杭州电子科技大学理学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，在
内可导
【答案】令
，则
且
由此推出
下面分两种情况讨论： 第一种情况，使得
第二种情
况知
.
使得
. 现在对
使得
2． 设
证明：
【答案】由拉格朗日中值定理知，
使得
因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令
时，
当
原
不等式成立.
3． 设f 为定义在区间一致收敛于f
【答案】因为
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. 求证：使得
根据罗尔定理，有
即得
.
则
在
从而本题得证. 与
异号，于是根据连续函数的中间值定理可
上用罗尔定理，有
从而本题也得证.
即得
则
显然
是
在上的唯一驻点. 因为当
时
，所以是的最大值点. 于是从而
内的任一函数，记证明函数列在内
故对任意
从而
在
取
当
时，对任意
均有
内一致收敛于f
在
上有定义，且在每一则
使得在
的一个
4． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则
在内有
开覆盖.
(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使
得
则
矛盾。
(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得
在每个区间
论在点邻域内的有界性，推出矛盾.
5． 设证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
若在每个在(当
6． 设函数
取点时) . 即在闭区间
为非有理点，则在D 上不可积. 上连续，证明：
【答案】因为
当
时.
所以
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上有界.
设
即
在
以此构造闭区间
上无界，则对任意正整数n ，存在
. 中存在收敛子
列
设
【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，
于是得到数列由致密性定理
，
在上无界，则利用二等分法构造区间套
然后讨
上无界. 由区间套定理，存在唯一的
使皆为有理数，则
因此的极限不存
二、计算题
7． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
8． 求方程
【答案】
设
增. 由于
的根的近似值，精确到
因为
于是取
现估计近似
根迭代。
由于已经精确到 9． 利用
⑴（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）
（3）
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内的平均角速度为
所以
所以实根在区间
在
上严格递
内，在此区间上，
的误差
.
故
在上的最小值
为
而
不满足精度要求，继续
所以
故取近似根求下列极限：
；
.