当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设函数项级数在D 上一致收敛于

【答案】不妨设存在

对任意

在D 上一致收敛于

对任意

有

均有

因

在D 上一致收敛于

从而，对任意

所以

2． 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意u>l,

g (x ) 在

上单调递减，并且收敛，故

3． 设

为开集

因为

收敛.

均为可微函数，证明：在处可微，所以

又

由

在

处可微，知f

在所以

第 2 页，共 33 页

函数在D 上有界，证明级数

故

存在N>0, 当n>N时，对任意

在D 上一致收敛于

是收敛的.

由狄利克雷判别法可知

也是可微函数，而且

【答案】对

处连续，从

而

在附近有界，

即

使

这表明，

在处可微，且

由的任意性，知

是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列.

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，

即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

(2) 因为

，

由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N

在上可微，且

4． 1) 证明：若数列

满足下列条件之一，则

在正整数N ，使得当n>N时，

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

第 3 页，共 33 页

所以

故

5． 证明

:

【答案】

故

6． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

再证：当

由

时有

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

时有

即

使得

即

单调递増，则有

知

时有

(2) 不妨设

单调递增. 对

的子列

有

则. 使得

不以

则

已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

二、计算题

7． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由：

(1

) (2

)

第 4 页，共 33 页