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一、证明题

1． 设

【答案】因为

所以

由于

故在

上不是一一映射。

2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

不

是则

为

的聚点，

则

使得

由于在

3． 设

【答案】设. 时，

有

取

由此推出，当n>N时

4． 设

(1) 求(2) 计算g (a ) .

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证明：当，但在上，不是一一映射；

显然若有聚点，则必含吁

使

得

中. 假设

为有限点集.

记中有限个邻

域

的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存

在

. 为有限点集所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故

中至少有一个聚点.

且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

. 故当n>N时，有

对于存在正整数

存在正整数

使得当

使得当时，

有

当n>N时，同时有

【答案】(1) x=l和为奇点. 记

则

显然f (x ，a ) 与对积分当当

时，时，

在

由

敛性，利用M 判别法可知，

由可微性定理，有

(2) 因为

注意到g (0) =0, 于是当

时，有

故

5． 设那么

证明：若对任何正数

那么

有

设

则a=b.

则

取

因为

所以

是关于的奇函数，因此只需考虑

的情形即可. 此时

，

上收敛.

及的收

上关于-致收敛. 于是

均在

上连续.

由此可知，对积分

【答案】用反证法. 假设

不成立. 这与题设矛盾，故a=b.

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6． 设

在

上连续，证明

则

使得

则

.

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故记

不妨设

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

由(3) 和(7) 知，当

「时，有

综上，即证得

，

时，有

在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

二、计算题

7． 讨论反常积分

【答案】

当

的敛散性.

时，对

一切

有

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而发散，故