2017年杭州师范大学理学院726数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设在
【答案】令因此，g 为
上可微，且
则
上的递减函数. 于是，
证明：在因为.
上所以
故
由此得
在上
2． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.
【答案】反证法. 假设且n>1，
使得是
是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，
由此得
是无理数.
由于
所以存在质数
于
于是
这与m ，n 互质矛盾，所以
二、解答题
3． 过点（4，0）作曲线
（1）求切线的方程；
（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积
的切线.
图
【答案】⑴令
则
过点（4，0）作曲线
的切线，切线与x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
（2）所求的旋转体的体积为
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切线方程是
4． 判断积分
【答案】对
有
的敛散性.
再由
5． 试作一函数
收敛，可得使当
时，
收敛.
(1) 两个累次极限存在而重极限不存在； (2) 两个累次极限不存在而重极限存在； (3) 重极限与累次极限都不存在；
(4) 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 【答案】(1) 函数因为
故(2) 函
数
也不存在. 但是
(3)
函数
在.
时，(4) 函数
6． 设向量函数
的值在
满足定义如下
其中定了唯一的
隐函数
并求
在
上连续，由
得
显见
det
所以，在
点
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满足
不存在，
满
足
不存在. 同
理
满足当
之间振荡，同理
时，重极限和两个累次极限都不存在，因为
也是一样的.
不存在但是
证明：在点的某邻域内，向量函数方程确
【答案】计算得知
的某邻域内，向量函数方程
. 确定了惟一的隐函数
因为
且
所以
于是
7． 求下列函数的导函数：
【答案】
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