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一、证明题

1． 求f （x ）=x在区间

3

上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:

【答案】因为f （x ））在上可积, 所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然, 当

3

时, f （x ） =x连续, 故

当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得

, 即

.

. 再在式（1）中, 令

2． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

【答案】根的存在定理:若函数f 在闭区间点

使得性知, 对

每一点

. 存在x 的一个邻域

, 使得f （x ）在

内保持与f （x ）相同

它

的符号. 于是,

所有的的右端点动, 得到开区间（x ）在每一个

形成[a, b]的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理, 从中可以选出有限个开区

, 以此类推, 经过有限次地向右移

这n 个开区间显然就是[a, b]的一个开覆盖.f

.

,

有

由连续函数的局部保号

假设方程f （x ）=0在（a , b ）内无实根, 则对每一点

上连续, 且f （a ）与f （b ）异号, 则至少存在一

, 可得

间来覆盖[a, b]把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间, 设为

又属于S 的另一个开区间, 设为

,

使得

f x ）f a ）内保持同一个符号. 在内（与（具有相同的符号. 因为

所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号. 以此类推, f （b ）与f （a ）具有相同的符号. 这与f （a ）与f

（b ）异号矛盾. 故至少存在一点. 3． 证明有界函数.

4． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

，因为

【答案】由平均值不等式可得

, 使得.

是R 上的有界函数.

于是,

故

是R 上的

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

收敛，所以

从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时

，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.

二、解答题

5． 求下列函数的周期:

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）（2）由（3）

的周期是可知, 的周期

的周期

的周期是

.

不等式, 即

设

则

故的周期是

的周期的周期是上连续, 而且

4和6的最小公倍数是12, 故

6． 设实值函数

则

【答案】先来证明一个不等式, 一般称为

及其一阶导数在区间

两边从a 到b 取积分, 有

由于等式右边对

都成立, 知

则

下面再来证明题目: （1）设

则由

公式有

即

两边开方即得证. （2 ）同样由

公式有

即

等式两边从a 到b 积分得

不等式成立.