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一、证明题

1． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设

证明

.

【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,

即

.

|时,

有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知

为此, 将积分分为三段进行估计:

>

而

综上可知, 原结论成立.

2． 设级数

收敛，证明

也收敛.

, 因此, 欲证结论成立, 只需证

【答案】因为

又

及

收敛，故

收敛，所以由比较原则得

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

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收敛.

一般的令

3． 给定两正数与

证明:【答案】由

与等比中项

因而

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又因为

因此,

于是

4． 设

（

1）（2）（3）

.

所以

为单调递减,

即, 证明下列各式:

;

;

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

即

都是有界的. 根据两边取极限, 得

单调有界定理知

的极限都存在. 设

并讨论备不等式中等号成立的条件和解释n=2时的几何意义.

【答案】（1

）此不等式的证明要用到詹森不等式:若, 为

[a, b]上凸函数, 则对任意

有

现取

. 式, 有

即

故

当n=2时, 不等式为

等式成立的充要条件为

.

.

, 则

为R 上的凸函数, 令

则由詹森不等

图1

此不等式的几何意义为（见图1）:在任意一直角三角形中, 以斜边所作正方形的对角线的长大于或等于两直角边长之和.

（2）

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因为此处利用了不等式等号成立的充要条件为

即

所以

或

也就是

即

图2

故等号成立的充要条件为x 与y 正交, 当n=2时不等式的几何意义为（见图2）; 以向量x , y 为邻边的 平行四边形的两对角线的乘积小于或等于以向量x , y 为边的两正方形面积之和.

（3）由三角不等式有

即

*

又

即

所以

等号成立的条件为y=kx （k 为实数）, 当n=2时等式的几何意

义为:任一三角形中一边大于或等于另外两边之差.

5． 证明sinx

在上一致连续.

【答案】对于任意的

有

对任给的sinx

在

,

取

, 则对一切

,

当

时,

有

, 故

上一致连续

.

二、解答题

6． 计算第二型曲线积分:

（1）

其中L 为螺线

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沿t 增加方向的一段;