2018年浙江大学控制科学与工程学院819数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 举例说明
:
【答案】例如且
2． 设悬链方程为A （t ）.
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
证明（:1）
【答案】（1）由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
（2）旋转体体积为
侧面积为
所以
（2）
（3）
它在
上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、
在
收敛且f 在
,
令
上连续, 但
得
不存在
上连续时, 不一定有
收敛,
（3）x=t处的截面面积为 所以
3． 设曲线
证明
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的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.
【答案】由对称性知
4． 设正项级数
【答案】
收敛. 证明:级数收敛, 则
令
则
, 级数
的部分和为
从而级数 5． 设
【答案】
所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列
, 则
. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.
, 由极限的四则运算法则知
连续, 从而f （x , y）在D 上连续.
, 则
但
所以f （x , y ）在D 上不一致连续.
收敛.
也收敛, 其中
.
二、解答题
6． 将函数
展开为傅氏级数.
【答案】因为f （x ）是奇函数, 所以
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因为f
（x
）逐段单调,
所以
7．
设
,
记
其中
是关于x 的多项式,
求
和
.
【答案】由莱布尼茨公式, 有
由此可知,
和
所以
8． 计算
, 其中S 为圆锥表面的一部分
这里为常数【答案】由于
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.