2018年长沙理工大学数学与计算科学学院703数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）（2）（3）
（4）（5）由
得到
（6）
2． 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.
【答案】（1）设
（2）由的不足近似值形成数列（3）设M 是由数集内不成立.
（4
）时
,
的不足近似值形成的数
列
但其极限是
,
而
满足柯西条件（因为当m , n>N
不是有理数, 于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没
, 则S 是有界集, 并且
但
故
有理数集S 在Q 内无上、下确界, 即确界原理在有理数集内不成立.
这个数列是单调有上界的, 2是它的一个上
界. 它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界. 因此, 单调有界原理在有理数集内不成立.
的所有不足近似值组成的集合. 则1.4是M 的一个下界, 2是M 的一个上界.
, 故在有理数集内不存在聚点. 因此, 聚点定理在有理
即M 是一个有界无限集, 但它只有一个聚点
有极限. 因此, 柯西收敛准则在有理数集内不成立.
3． 已知平面上n 个点的坐标分别是
试求一点, 使它与这n 个点距离的平方和最小.
【答案】设所求的点为（x , y ）, 它与各点距离平方和为
由
得
因为
所以,
4． 设
为S 的最小值点. 因此,
为所求的点.
试研究f （x ）在点的连续性.
专注考研专业课
13年，提供海量考研优质文档！
【答案】∴
在
处不连续.
5． 延拓下列函数, 使其在R 上连续:
【答案】（1） f （x ）在x=2无定义, 由
知x=2为
f （x ）的第一类的可去间断点. 令
.
则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续.
（2）f （x ）在x=0无定义, 而
故x=0是该函数的第一类的可去间断点. 令
则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续. （3）f （x ）在x=0无定义, 而点.
令
, 则F （x ）为f （
x ）在R 上的延拓. 且在
R 上连续.
, 所以x=0是该函数的第一类的可去间断
6． 求下列函数所表示曲线的渐近线
:
（1）（2
）（3）
【答案】（1）由
得
再由
得b=0.所以此曲线有水平渐近线y=0.又因为
所以此曲线有垂直渐近线x=0 （2）由