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一、证明题

1． 求证:

（1）（2）

【答案】（1）已知序列

严格递增, 且

（*）

又设

.

显然

.

再根据n+2项的平均值不等式, 有

（**）

联合（*）与（**）式即得

（2）记

, 由第（1）小题结论, 有

再由第（1）小题结论, 有

即

有下界, 从而极限

存在.

2． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

【答案】根的存在定理:若函数f 在闭区间点

使得性知, 对

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上连续, 且f （a ）与f （b ）异号, 则至少存在一

,

有

由连续函数的局部保号

假设方程f （x ）=0在（a , b ）内无实根, 则对每一点

每一点. 存在x 的一个邻域, 使得f （x ）在内保持与f （x ）相同

它

的符号. 于是,

所有的的右端点动, 得到开区间（x ）在每一个

形成[a, b]的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理, 从中可以选出有限个开区

, 以此类推, 经过有限次地向右移

这n 个开区间显然就是[a, b]的一个开覆盖.f

.

间来覆盖[a, b]把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间, 设为

又属于S 的另一个开区间, 设为

,

使得

f x ）f a ）内保持同一个符号. 在内（与（具有相同的符号. 因为

, 使得上可积,

.

且成立帕塞瓦尔等式,

所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号. 以此类推, f （b ）与f （a ）具有相同的符号. 这与f （a ）与f （b ）异号矛盾. 故至少存在一点.

3． 证明:若f 及其导函数均在则

【答案】由

为f （x ）的傅里叶系数,

为

的傅里叶系数, 依题意, 有

因为f

及在

上成立帕塞瓦尔等式, 所以

所以

4． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

:

及

, 由f （x ）的凸性知

所以

为[0, 1]上的凸函数

.

..

及

, 因为函数

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函数为[0, 1]上的凸函

为[0, 1]上的凸函数, 所以

有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

二、解答题

5． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?

【答案】设底的半径为r , 则

, 由

, 容器的高

, 又因为

, 故

. , 容器的表面积

于是故

得

,

,

是S （r ）的极小值点, 此时

即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.

6． 试求下列极限（包括非正常极限）:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

【答案】（1）因为当

时,

故

（2）原式=（3）原式===

（4）由于当

时,

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