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一、计算题

1． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562. 2 设．

是来自分布函数为

给定时,

密度函数为联合密度函数为

而后

个次序统计量

的联合密度函数为

故所求的联合条件密度函数为

最后结果表明:所求条件密度函数只与

有关, 而与

的取值无

关. 从而, 其分布也仅依赖

于的给定

值这样一来, 条件密度函

数

完全可以写成

3． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）.

的一个样本.

是其

次序统计量, 试求在

【答案】次序统计量

的联合条件密度函数.

4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在差异？并给出检验的p 值.

【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数

，为其真实比例，

则

由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到

其中

于是，在

成立的条件下，近似有

其中

将

的值代入，可算得

对显著性水平武侠小说方面有显著差异.

此处检验的p 值为

5． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

所求概率为

譬如，取

可算得

根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率

检验拒绝域为

观测值落入拒绝域，故认为男女同学在喜爱

待检验问题为

下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著

6． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.

【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知

由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为

于是

7． 有一个分组样本如下表:

表

1

其中

试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:

表

2

因而可得样本均值, 样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为