2017年山西师范大学数学与计算机科学学院609数学之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
2． 如果
且.
有
故当即对任意的
时, 有
有
于是有
从而
3． 设由
成立, 结论得证.
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
又
由
知
都服从区间（0，1）
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
5． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
6． 设总体二阶矩存在,
的特征函数, 由唯一性定理知是样本, 证明
则
由
因而
, 且X
的相关系数为
与
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
所以
7． 设
【答案】一方面
证明：
另一方面
8 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
二、计算题
9． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为
，记Z=X+Y。
（I
）求【答案】 （I
）
，则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 （II ）设z 的分布函数为F （z ）
Y
的概率密度为
（II ）求X 的概率密度f （z ）。