2017年山东大学金融研究院432统计学[专业学位]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设给定：
（1）求（
是来自正态分布
的一个样本，令
又设，其中
；
的联合先验分布如下已知.
在固定时，的条件分布为）的后验分布
（2）求的后验边际分布；
（3）求给定条件下的后验边际分布. 【答案】（1）（
）的先验分布为
与（
）的联合分布为
所以，（
）的后验分布为
（2）对
关于求积分，则
据此可知，
（3）由
可得，
据此可知，
这说明该先验分布为（
）的共轭先验.
2． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
试分别在下列条件下检验假设（
设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知
（2）未知.
）
.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为若取
由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水
平s=0.4760, 3． 设试求概率
查表
得
一其中检验统计量
取
由样本观测值计算
故接受原假设.
为独立同分布的随机变量, 共同分布为U （0, 5）. 其算术平均为
,
【答案】由均匀分布U （0, 5）可算得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:来自均匀分布U （0, 5）的48个随机数的平均在2到3之间的概率近似为0.9836, 较接近于1.
4． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设：
检验的判断规则是：若则拒绝原假设试求检验犯两类错误的概率.
【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为
犯第二类错误的概率为
这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.
5． 某厂产品的不合格品率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？
【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布b （100+k，0.03）. 根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9，即式的
k
在此p=0.03，n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为
查泊松分布表得
故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.
6． 设
, 试问n 应该多大, 才能满足
【答案】因为
所以由中心极限定理得
即所以得
7． 若随机变量
【答案】方程由此得知
查标准正态分布函数值表得, 取n=664即可满足要求.
而方程
无实根的概率为0.5，试求
于是上
也就是求满足下述不等
无实根等价于16-4K<0，所以由题意知