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一、计算题

1． 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件，试求：

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. 【答案】记事件为“第i 次取出的是一等品”，i=l，2. 又记事件（1）用全概率公式

（2）因为

所以

2． 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，

求得

（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程（2）写出（3）求

的分布； 的相关系数；

为“取到第i 箱”，i=l，2.

（4）列出对回归方程作显著性检验的方差分析表（5）给出的0.95置信区间；

（6）在x=0.15时求对应的y 的0.95预测区间.

【答案】（1）根据已知数据可以得到回归系数的估计为

于是y 关于x 的一元线性回归方程为

（2）我们知道

利用已给数据可计算出

由此可得到（3）由于

的分布分别为

故

的相关系数为

（4）首先计算三个平方和

于是可建立如下方差分析表：

表

若取显著性水平值为

查表知拒绝域为此处检验统计

量落入拒绝域，因此，在显著性水平0.05下回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p

这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （5）由定理知，

区间为

其中

当

时，

由此可得到

（6）首先算出x=0.15对应的y 的预测值为

而

且与相互独立，因此的置信

的置信区间为

所以x=0.15时求对应的y 的0.95预测区间为

3． 进行独立重复试验, 每次试验中事件A 发生的概率为0.25. 试问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？

为1000次试验中事件A 发生的次数,

则

设事件A 发生的频率（）与概率0.25的差为k , 根据题意, 可得如下不等式

【答案】

记

或

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

由此得

查表得

从中解得

这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于0.02634,

且

或者说, 在1000次试验中事件A 发生的次数在次间, 即在223次到277次间. 4 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求

【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出

譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入

）就表示自由度为

的F 分布在x 处的分布函数.

5． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

则有

, 于是

试

.

则给出0.0798,

这里的

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.