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一、计算题

1． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

2． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.

，所求概率为

【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则X 〜b （3，0.1）

3． 设X 与Y 相互独立, 分别服从参数为

【答案】因为

, 所以

这说明:

4． 已知事件A ，B 满足

【答案】因为

由此得

所以

记P （A ）=P，试求P （B ）.

服从二项分布b （n , p ）, 其中

所以

和的泊松分布, 试求

5． 设取拒绝域为

【答案】

是来自0-1总体b （1，p ）的样本，考虑如下检验问题

，求该检验犯两类错误的概率.

则

，于是犯两类错误的概率分别为

，

6． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?

【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为

表

1

所以保险公司的期望收益

为

中解得

所以取

即可满足要求.

表

2

由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.

7． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下：

表

1

试在显著性水平

下检验这批数据是否服从泊松分布.

由

即

从

注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有

【答案】本题与上题完全类似，仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数采用最大似然估计得：

将代入可以估计出诸

于是可计算出检验核计量

表

2

如下表：

若

取此处检验的p 值为

8． 设和

查表

知故拒绝域

为

由

于

故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从泊松分布.

分别来自总体和的两个独立样本.

试求

的最大似然估计.

【答案】合样本的似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数对

分别求导并令其为0, 得

由此得到

的最大似然估计为

二、证明题

9． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.