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一、计算题

1． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？

【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.

若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况：若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.

2． 设求的分布.

【答案】因为

的可能取值区间为

所以当

0时，Y 的密度函数为

对上式两边关于y 求导，得

即

这是伽玛分布

而当y>0时，Y 的分布函数为

3． 设随机变量X 的密度函数为

试求

（1）系数A ；

（2）X 落在区间（0，π/4）内的概率. 【答案】（1）因为（2）所求概率为

由此解得A=1/2.

4． 某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为

表

1

（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；

，单位为万元. 试求工程队的平均利润； （2）设该工程队所获利润为Y=50（13-X ）

（3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间&（单位：月）的分布为

表

2

则其平均利润可增加多少？ 【答案】（1）需11个月.

（2）为100万元.

（3）调整安排后

，

5． 设A ，B ，C 两两独立，且.

（1）如果（2）如果

所以平均利润

为

由此得平均利润可增加120-100=20（万元）.

试求x 使

且：

达到最大.

求P （A ）.

而不要求

之不然. 这里由A ，B ，C 两两独立，且

（1）由P （A ）=P（B ）=P（C ）=x知三项式的最大值在x=0.5达到.

（2）由解得两个解为3/4和1/4，而x=3/4不符题意，所以得x=1/4.

6． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，每个水平下的试验次数m=3，误差平方和它们分别为

该工程队完成此项工程平均

该工程队所获平均利润

【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立

成立. 可见A ，B ，C 相互独立必导致两两独立，反可得

而

这个二次

的估计值

由四个平方组成，

于是

其自由度为

误差方差

的估计值为

7． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有

种可能情况，

这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为：“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是：第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有情况，所以

事件C 发生只有4种可能情况：3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以

又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得

将以上结果列表为

表

8． 设

（1）（2）（3）质:

所以不是分布函数. （2）因为此时的极限函数为（3）因为此时的极限函数为数.

种可能

为退化分布:

）

试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中

【答案】（1

）因为此时的极限函数为不满足分布函数的基本性

所以是分布函数.

不满足分布函数的右连续性, 所以不是分布函