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一、计算题

1． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数

表

【答案】

2． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表

表

比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为算得

到

于

是

备择假设为

）.

此处™=8, 9，由样本数据计

查表

有

绝

域

为

【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，

若取显著性水

平

从

而

拒

由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.

3． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布

有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为

现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】

因此

由以上结果我们可以得到λ的后验分布

4． 设随机变量X 的密度函数为件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.

【答案】因为Y 〜b （3，P ），其中

以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事

所以

5． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

6． 设

来自贝塔分布族

的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量.

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

6点出现的次数

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

7． 掷一颗骰子60次，结果如：

表 是充分统计量.

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

（1）求

（2）求P （X>3）；（3）设d 满足

（2）（3）由取0.154.

查表得

由此解得

故d 至多

匀的. 此处检验的p 值为

8． 设随机变量

【答案】（1）

这里k=6，

检验拒绝域为

若取

则要检验

则查表

问d 至多为多少？

二、证明题

9． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

10．（1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分

时, 样本极差的分布函数.

,

于是与