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一、证明题

1． 证明:若

【答案】(1)

(2) 由(1) 的运算可得

2． 证明

：

【答案】

因为

在[一1，1]上一致收敛.

对任意的

因为存在.

3． 利用施瓦兹不等式证明：

(1) 若在(2) 若在

上可积，则

上可积，且

则

(3) 若

都在

上可积，则有闵可夫斯基

不等式：

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为包围区域V 的曲面的外侧，则

是上的连续函数，且而

存在.

收敛，

故由魏尔斯特拉斯判别法可知

连续，所以

’在[-1，一 1]上连续，

此

【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有

(2)

由有

(3) 由施瓦兹不等式，得

可积，且

知

可积，从而

可积，于是根据施瓦兹不等式，

故

4． 设

是曲面

的非奇异点，F 在：

可微，且为n 次齐次函数. 证明：

【答案】由于F 为n 次齐次函数，且_曲面在处的切平面方程为

即

而由式知

故

由

知

曲

面

在

处

的

5． 试应用

定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以

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此曲面在处的切平面方程为

. 故有

切平面方程

为

【答案】因为当

6． 设f 为

使得

上二阶可导函数

并存在一点使得

使

证明至少存在一点

由

于是

有

【答案】因f (x ) 在上满足拉格朗日中值定理，故存在得又因

为

在

同理，存

在

上可导，由拉格朗日中值定理知，存

在

使得

二、解答题

7． 求下列函数在指定点的导数：

（1）设

（2）设

（3）设.

【答案】⑴

（2）

（3）当x>0时，故

为

的定义域的端点，所以在x=0处只能讨论单侧导数

.

所以 8． 设

【答案】当

求

时，被积函数趋向于0, 所以积分是正常积分. 注意到

则原积分可写成

由于

在

(设

) 上连续，所以积分次序可交换，即

不存在.

求

求

求

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