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一、证明题

1． 设

可以确定连续可微隐函数

【答案】因为

2． 设

(1) 求证：(2) 求

化简即得(2) 显然边求n 阶导数，得

化简得

由此，令

得

. 这是

的递推公式，根据这个公式，有

则对任给的

故从而同理充分性设因此故点列

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试证：

所以

_

【答案】(1) 答:

由第(1) 小题知

为了求

对第(1) 小题所证的方程，两

3． 证明：点列

即

收敛于的充要条件是收敛于

【答案】

必要性设点列

存在N ，

当

时

侧对任给的

收敛于

存在N , 当

时，

4． 设

求证 注意到

则有

【答案】不妨设

5． 设

b]上的连续函数列，为[a，且对任意

在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得

有证明：如果

对任意正整数k

，

收敛于连续函数f (x ) ，则

【答案】假设

在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .

这里不妨设设

再由

由于在点

由于数列有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得

且

连续，且所以

. 由

关于n 单调递增趋于f (x ) ，

由保号性，存在正整数K ，当k>K

时有所以当n>N时

6． 在[0，1]上定义函数列

矛盾. 从而

在[a，b]上一致收敛于f (x ) .

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得

从

而时，

有

及

有

恒成立. 所以对于任

意

取

当n>N时，对任意的

由柯两准则知，级数而正项级数优级数

在[0，1]上一致收敛. 若

发散，

这与

存在优级数. 特别取，有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾，因此级数

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二、解答题

7． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为火车运费的单价是最省。

，的B 城（图）轮船运费的单价是

的总运费

试求运河边上的一点M , 修建铁路MB ，使

图

【答案】设

则

总运费

由

8． 计算曲线积分

其中L 是从点(a ，0, 0) 沿着以下曲线到点(0, 0, c ) 的路径：

【答案】方法一(用参数方程求解) 从

中解出

令

则

由于

并注意到椭圆心在

处，所以

故

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得

时总运费最省。

舍去负值，经检验故M 点距C

点的距离为

代入椭球面方程整理可得