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一、证明题

1． 证明：(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点

(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为

所以

由此可知，为凸函数的充要条件是

为严格凸

函数的充要条件是

2． 证明下列结论：

恒有

(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程

(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式

【答案】(1) 令

则z=f(U , V ) ，于是

则

也满足方程

是不为零的常数，

则

故

(2) 由

知

于是

故

3． 设

在

上连续，在

使

【答案】(1) 令(2) 将结论中换成即亦即或

由此可见，令

4． 证明：若在

对

在

上应用罗尔定理即可.

使得

.

对

在

应用根的存在定理即可.

内可导，且

(2) 对任意实

数

必存

在

使

试证：(1

)

上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在

【答案】设则于是有

由假设使得

为单调函数，故不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在

5．

设

是闭区间[a, b]上的连续可导函数.

记

证明

：

是有限集.

无限，则

假设

且

【答案】用反证法：若但

而在某个

内亦有

于是当n 充分大时，

介于

6． 证明：

【答案】减，且当

与x 之间，这与

在

有时有

中值定理矛盾. 所以

内连续.

是有限集.

，

所以当

在内连续.

时在

关于x 在上一致收敛于0.

内单调递

由狄利克雷判别法知，

致收敛，又被积函数连续，于是F (y )

在

上一致收敛，即F (y ) 在内闭一

二、解答题

7． 判别下列函数的奇偶性：

（1）（3）

（2） （4）

有

故

是R 上的偶函数.

有

故

是R 上的奇函数.

有

故f （x ）是R 上的偶函数.

（4）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的奇函数. 8． 求

是以为周期的连续函数，故有

对

作变换

则有

即

【答案】（1）显然，f （X ）的定义域为R. 对于任意

（2）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意

（3）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意

【答案】由于被积函数