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一、证明题

1． 设

【答案】设. 时，

有

取

由此推出，当n>N时

2． 设函数f 在

(1) f 在(2) 若存在

【答案】(1) 令

因为f 在(a , b ) 连续，所以F (x ) 在界，即f 在(a , b ) 上有界.

(2) 因为F (x ) 在[a, b]上连续，所以F (x ) 在[a, b]上能取到最大值. 又因为

即

在(a , b ) 内取得，即f (x ) 在

(3) 由(1) 知

3． 证明:

若

在

【答案】对

作分割

上

对

使

于是

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且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

. 故当n>N时，有

与

对于存在正整数

存在正整数

使得当

使得当时，

有

当n>N时，同时有

上连续，且内有界；

使得

为有限值. 证明：

则f 在(a , b ) 内能取到最大值；

(3) f 在(a , b ) 上一致连续.

连续•因此F (x ) 在[a, b]上有界，所以F (x ) 在(a , b ) 上亦有

使

上的最大值可以

所以F (x ) 在

内能取到最大值. 上连续，所以F (x ) 在

上一致连续. 显然f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.

则

有

在

上可积, F

在上连续，且除有限个点外

有

使其包含等式

不成立的有限个点

为部分分点，在每个小区

间使用拉格朗日中值定理，则分别存

在

因为

在

4． 设角是常数).

【答案】

故

5． 已知f (x ) 在[0，1]上二阶连续可导，证明：

【答案】因为f (x ) 连续，所以

可被取到，不妨设

由拉格朗日中值定理得

又因为

所以

即

6． 设f (x ) 在在

【答案】

其中

因为

单调递减.

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上可积，所以令

有

之下

则必有

是一(其中旋转

可微，证明：在坐标旋转变换

个形式不变量，即若

上一阶可微，且在

代入①式，得

上单调递减，试证：亦

上单调递减.

在

二、解答题

7． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性：

(1) (3) (5) (7) (2) 因(3) 因(4) 因

(5) 因(6) 因

所以原级数发散. (7)

8． 确定常数

【答案】

于是

欲使

为三阶无穷小量，必须有

使当

时

，

为x 的3阶无穷小.

故

时原级数发散，

时原级数收敛.

(2)

(4) (6) (其中

且

所以原级数发散. 所以原级数收敛.

故

，故原级数收敛.

，故

所以原级数收敛.

). 故

所以原级数发散.

【答案】(1) 因

解之得

9． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。

【答案】

是此函数的第二类间断点，但它有原函数

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