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一、证明题

1． 求

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

于是由式(1) 可得

即

再在式(1) 中，令

可得

2． 设

证明：收敛，并求其极限.

【答案】先用数学归纳法可证：

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①，②式知

单调递増有上界，极限存在，可设

注意到

1<1.

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3． 设证明函数. 存在惟一的零点.

所以存在

使

所以f (x ) 在

则由f (x ) 显然

上单调

【答案】因为连续知，f (x ) 在.

之间至少存在一个零点. 又因

递増，所以f (x ) 存在惟一的零点.

4．

为中的开集，

(1) 对每个(2

) 试证：

【答案】首先证明因

根据条件(2)

令其次

，

存在. 所以

当

的x 存在关于

为上的函数，且

中的y —致连续.

使得

时，有

根据柯西准则，

知

存在. 即等式

取极限，根据条件(1)

可得

由

①左端极限存在，记之为A.

利用条件(2) 及上一步骤之结论，可取x 与将x 固定，由条件(1) 于是由②式知

5． 若在区间I 上，对任何正整数n ，

证明：当【答案】因为意.

及任意

在I 上一致收敛时，级数有

从而由

得

所以，由柯西准则知，

级数

在I 上一致收敛.

在I 上也一致收敛.

总存在N>0, 使得当n>N时，对任

在I 上一致收敛，故对任给的

使得

充分接近使得

时证毕.

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6． 设在上可积，且在点处连续. 设

证明

【答案】因

为

又因为

在

在

上可积，所

以

当

因此，欲证结论成立，只需证

在

上有界，设界

为

时，有

即

处连续，所以

通过计算易知

为此，将积分分为三段进行估计：

而

综上可知，原结论成立.

二、解答题

7． 设是不含原点的有界区域，其体积为V ，边界为光滑的闭曲面

是

上的连续可微函数，它满足微分方程

【答案】因为位向量为

则

所以

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是的外法线单位向量

，

求

的单位向量为其中E 的外法线单