2017年内蒙古工业大学理学院609数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 已知函数上点
在
上有二阶导数并且，
记.
的图像曲线为C ，过C
围
引切线. 证明当t 变动时，由该切线与曲线C 以及直线
【答案】由题意得，切线与曲线C 以及直线
围成的平面图形面积为
成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值.
且
所以
2． 设在
上连续
，
证明
【答案】因为
所以
从而
3． 证明：若
【答案】
若
为递增数列，则无界，
则
等式成立.
若
有界，由单调有界原理可得存在，
从而
4． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.
【答案】设方程. 区间
有n+1个相异的实根，则方程
并且
使得
.
至少有对f (x ) 在
的n+1个相异的实根为上应用罗尔中值定理知，
存在
即至少有n 个相异实根. 再对
使得
在n-1个区间
即.
至少有一个实根.
也收敛，其中
上应用罗尔中值定
至少有n-1个相异实根. 如此继
理知，存在续下去可得
5． 设正项级数
【答案】
至少有n-2个相异实根收敛. 证明：级数收敛，则
令
则
级数
的部分和为
从而级数
6． 若
在
只
要
收敛。 内连续，且
则
对又因
为
存在，求证：存
在
在
则有
即
在
内有界.
使得
当
在
时
，
内有界.
即
有使
得
【答案】
设
上连续，所以存
在
二、解答题
7． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同. 试问将球体从水中携出需作多少功？
【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功
图
8． 计算下列三重积分：
(1) (2) ⑶
其中
其中
其中
及
所围区域；
z=0和x=h所围区域.
【答案】(1) 因为关于平面x=0对称，被积函数关于z 为奇函数，所以
(2) 作变换
于是
(3) 作变换
从而
9． 求以下数列的上、下极限
则区域变为且
SP 则区域变为
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