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一、解答题

1．

设矩阵

求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】

令

即

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令

2．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

若不相似则说明理由.

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

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关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

3．

设二次型

（1）证明二次型f

对应的矩阵为（2

）若

【答案】（1）由题意知，

记

正交且均为单位向量，证明f

在正交变换下的标准形为

故二次型/

对应的矩阵为（2）证明：

设则

而矩阵A

的秩

故f

在正交变换下的标准形为

4． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到

所以矩阵

的基础解系为

则既可由

线性表出，也可

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

，由于

所以

为矩阵对应特征值所以

为矩阵对应特征值

所以

的特征向量；

的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

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对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

二、计算题

5．

求一个正交变换把二次曲面的方程

【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为

由

所以A

的特征值为对应于

解方程Ax=0, 由

化成标准方程.

得单位特征向量对应于特征值

解方程（A —2E ）x=0.由

得单位特征向量

对应于特征值

解方程（A-llE ）x=0.由

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