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一、选择题

1． 对于n

元二次型

A.

化B.

化C. D.

下述命题中正确的是（ ）。

为标准形的坐标变换是惟一的 为规范形的坐标变换是惟一的

的标准形是惟一的

的规范形是惟一的

【答案】D

【解析】AC 两项，化二次型为标准形既可用正交变换法也可用配方法，化成标准形和所用坐标变换都是不惟一的.

BD 两项，规范形由二次型的正、负惯性指数所确定，而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的.

2． 设A 与B 均为n 阶矩阵，且A 与B 等价，则不正确的命题是（ ）。

A. B.

如果C.

如果【答案】A

【解析】BC 两项，按定义，A 与B 等价表明A 经初等变换可得到B ,

因而必有

如果

或

均表明A 可逆，因此B —定是可逆矩阵. 作为可逆矩阵可以只用行变换（或只

是初等矩阵.

用列变换）化为单位矩阵，

即所以

C 项，

当如

3．

设

A.E B.-E

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则有可逆矩阵P 使PB=E 则B 是可逆矩阵

D. 有可逆矩阵P 与Q ，

使

D 项，因为A 与B 等价，故A 经若干次行、列初等变换得到B , 即

若用到某两行（列）互换，则行列式要变号，对

虽A 与B

等价

不能保证必有

例

则B=（ ）。

D.3E 【答案】A

【解析】

故存在可逆阵P ，

使得

即

代入B 得

4．

与二次型

A.

的矩阵A 既合同又相似的矩阵是（ ）。

B.

C.

D. 【答案】B

【解析】二次

型则有

经正交变

换

化为新的二次

型，由

于

故

即原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 合同，又因Q 是正交矩阵，

因此在正交变换下，二次型矩阵A 与B 不仅合同而且相似.

因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在

知矩阵A 的特征值是2, 4, -2. 所以应当选B.

5． 已知4

维列向量线性无关，

若

=（ ）.

A.1

B.2 C.3

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非零且与均正交，

则秩

【答案】A 【解析】

设那么

与

均正交，

即内积

的非零解.

由于

6． 设A 为n 阶矩阵，a 是n 维列向量.

若秩

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】A 项，若A 可逆，

则一定存在惟一解；C 项，只有

当

故线

性方程组

为

故

必有非零解.

只有惟一解

时

B 项；若A 不可逆，

则

不

必打无穷多解

必有唯一解

仅有零解

必有非零解

则线性方程组（ ）.

线性无关，故系数矩阵的秩为3. 所以基础解系有4-3=1个解向量. 从

而

亦即

是齐次方程组

才仅有零解；D 项，

设

的解的集合中含有线性无关的解向量个数

二、填空题

7．

【答案】

=_____.

【解析】本题有较多的0, 并有较好的规律性，因此使用拉普拉斯展开式

.

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