2018年兰州大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
其中t 为任意常数.
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此
，
所有非零列向量
4．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
所有非零解_
t 为任
又由
得
因与
可知综上可知
，
有
即故都是
的解.
由
线性无关. 由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5．
设AP=PA, 其中
求
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因
是三阶对角阵，故
并且记多项式