2017年海南师范大学数学与统计学院905高等数学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 按
(1) (2) (3)
【答案】(1)
对任意
由
则当
时
.
(2) 因为
所以
对任意
由
得
取
则当故
(3) 当n 为偶数时，
当n 为奇数时，
对任意
取
则当
时，
故
在闭区间
上连续，且
则存
时，
故
定义证明：
2． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在
使得
证明:用反证法假设【答案】不妨
设
均有
一个开覆盖.
让取遍
由
在
上的连续性
，
，它构成了
使
得的
可得一个开集
由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集即
注意到k 是有限个，
所以
因此存在
3． 设
使得
在集合上有界，求证：
在
上每一点的函数值都同号，这与
将区间覆盖，
矛盾.
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为
4． 证明公式
【答案】
5． 证明
：
【答案】令
其中
因为
所以函数
所以
在即
上是凸函数. 因此
而
与
所处的地位是对称的，故第二式也成立.
6．
设级数满足：
加括号后级数符号相同，证明
，亦收敛. 收敛，所以其中
收敛，
且在同一括号中的
【答案】因为所以
设
故
又因为括号内符号相同，
则存在. 对任意的n ，存在k ，使
稩
又当
存在，即
7． 证明曲线积分的估计式：利用上述不等式估计积分
【答案】因为
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦； 有
圆的参数方程为
而
从而
故由迫敛性知
于是
其中L 为AB 的弧长，并证明
并
时必有
从而
收敛，实际上两级数收敛到同一个数.
二、解答题
8． 求下列极限：
； （a 为给定实数）
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