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一、证明题

1． 试用一致连续的定义证明：若

时，

有

则当

都在区间上一致连续，则

当时，有

故

在上一致连续.

上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：

存在

恰好是

是或

当当

时，取时，取

且

重复上述过程：若对任意

或有

或者存在

此时，因为假如

即

由于矛盾.

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也在上一致连续. 存在

时，有

使得当

取

【答案】因为f , g

在区间上一致连续，

所以对任给的

2． 设f (x ) 是区间

使得

(1) (2)

【答案】因为

在若对任

意

上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以

有

则有则有

有时，

取

且

使

使

递减有下界，所以存在

是连续函数，可以推出

使

此时结论成立.

则结论成立. 否则，即存在点

有

且当

有

时，

取

使得

使得

设

使

则结论成立. 否则，即存在

点

即总存在

这样再重复上述过程，得到

且

递増有上界

所以

的 3． 设

并且

有

是

在

上的最小值

是在上

最大值.

二、解答题

为定义在平面曲线弧段

上的非负连续函数，且在

上恒大于零.

试问在相同的条件下，第二型曲线积分【答案】不一定成立，

如取

4． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

【答案】(1) 解方程鉬由于在边

界

上

，

函数取最小值一4。

(2) 解方程组的稳

定点及其函数值有：

得

得

得

得

而边界

点(3) 解方程组

内部仅

为稳定点

的函数值都等于1，所以函数的最大值点

为

最大值为1，函数的最小值点为(0，0) ，最小值为0.

得而在边界

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是否成立? 为什么？ 到

的直线段，

取

则

为从

得稳定点(0, 0) .

所以(0, 0) 不是极值点.

由

得稳定

点，同理，在边界

点

这

时

在

点上

，

函数取最大值4, 在

点考察边界上相应一元函数

比较各点的函数值知，在

点

得稳定点(0, 0) ，函数值

因此稳定点在或上，在区域

上函数

值均为零，所以函数在点

5． 计算五重积分

取得最大值在边界上取得最小值为0.

【答案】当n=5时，取m=2，则

6． 设

【答案】

7． 在区间[0, 1]上，函数性.

【答案】f 于[0，1]上是（1）显然知（2）f 的间断点为

（3）对于[0, 1]上的任意分割

记对应的f 的振幅为

则

当综上

充分小时， 在[0, 1]上

可积.

可积的. 证明如下：

定义为

试讨论

在[0, 1]上的

可积

试按

的正数幂展开

8． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：

（1）（2）（3）【答案】（1）

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绕x 轴；

绕x 轴；

绕y 轴

绕x 轴。