2017年合肥工业大学数学学院716数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛，
当
时级数发散，当
时，因为
因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .
设
当
求证f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
时有
由根式判别法知上连续，由
收敛，
所以
的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
在
上一致收敛，从而f (x )
在
的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
在(-1，1) 内非一致收敛.
事实上，设
取
则
即
在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数
是
在(-1，1) 内非一致收敛.
则
2． 设f (x , y ) 可微
【答案】由已知
上的一组线性无关向量，试证明：
若
的方向余弦
为的方向余弦，又因为
于是由①、②可得
故
线性无关，所以
二、解答题
3． 求极限
其中 f (x ) 在[0, 1]上连续，f (0) =0, f (0) =1. 【答案】作变
换
所
以
故
4． 试改变下列累次积分的顺序：
【答案】(1) 积分区域
如图1由于V 在xy 平面上的投影区域
图 1
从而
由于V 在从而
由于V 在从而
则变
为
平面上的投影区域
平面上的投影区域
(2) 积分区域
如图
2
图 2
由于V 在xy 平面，yz 平面zx 平面上的投影区域分别为
如图3所示
.
图 3
从而
5． 计算下列积分：
与三个坐标面所围成的区域；
所围成的区域.