当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 举例说明：若级数

此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数

若P 为某一个固定的数，则

但级数

2． 设f 为可导函数，证明：若

时有

则有

【答案】由复合函数求导法则，有

由题设

3． 证明：函数

【答案】因为

所以

证明f 在

因为

取

内能取到最小值.

则存在

，

同理，存在

使得当

时，有

由f 在(a , b ) 上连续可知，f 在区间在

上有最小值点

即存在

上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f

对一切

第 2 页，共 25 页

对每个固定的p 满足条件

发散.

时得

即故

为常数) 满足拉普拉斯方程：

4． 设函数f 在(a , b ) 上连续，且

【答案】在(a , b )

内任取一点

使得

时有

都有

由式①，②，③知，f 在(a , b ) 内能取得最小值.

5．

【答案】根据题意，

则

易知显然由(1) 若若c=0，则

当b —c=0时，取(2) 若

当

在

当

理，存在

综上所述，存在. 使

得得

. 证.

6． 设级数

【答案】设

收敛于A (有限数) . 证明

：

则有

故有

所以

再

由

使得

使得

使得

时，

必有时

，

必有

又

在某在某

又

又

(或者用保号性及介值定理，存

处达到最大值，

处达到最小值，利用推广的罗尔定理，存在

利用推广的罗尔定理，存

在

使得

使结论得

；

(或者用保号性及介值定

. 则

, 若

则

则由推广的罗尔定理知，

存在

使得

满

足

证明存在非负单调数

列

使

得

当c=0时，

由于

这样继续下去，

得到存在非负的单调增数列

第 3 页，共 25 页

7． 设在上连续，证明

【答案】因为

所以

从而

二、解答题

8． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：

(1) (2)

【答案】(1) 因为

而当

时有

所以

即当当

时f (x ，y ) 连续. 时，由于

所以f (X ，y ) 在点(0, 0) 不连续. (2) 函数的定义域为当

上任一点

当

时有

于是

则f (x , y) 在y 轴上处处连续，故f (x , y) 在其定义域上是连续的.

时，由初等函数的连续性知f (x ，y ) 连续. 下面只考虑x=0(即y 轴) 上点的连续性. 对y 轴

第 4 页，共 25 页