2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库
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2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库（一） ... 2 2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库（二） ... 9 2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库（三） . 18 2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库（四） . 27 2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库（五） . 37
一、证明题
1． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
2． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
3． 设
是来自
）是（
）的充分统计量.
是
于是
的有效估计，
, 诸
独立,
是已知常数, 证明
的样本，α＞0已知，试证明，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
试证
不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
所以
不是的无偏估计.
5． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
6． 设随机变量, , 且X 与Y 相互独立, 令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
7． 设
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
4． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
, 与分别是两个样本方差.
且
相互独立, 故
于是
8． 设
是来自的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即
9． 设
没有无偏估计.
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
10．设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
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