2017年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即
即
且
的无偏估计，故其差
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
3． 设
【答案】一方面
另一方面
4． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且
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，则这说明
是0的无偏估计，
由判断准则知
证明：
试证:
【答案】
5． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
6． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
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的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
独立, 所以
即马尔可夫条件成立, 故服从大数定律.
个
7． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
8． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
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弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
使有时, 任对
, 有
使当
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为