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一、证明题

1． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,

由于-X 的特征函数为所以故是实的偶函数.

3． 设都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

4． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

的概率分别

是

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先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因

所以得, 即

都是分布函数，故当

时，有

证明：

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

5． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

6． 证明：对正态分布

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，

从而

的最大

似然估计不存在.

7． 设是来自几何分布

的样本, 证明

是充分统计量.

其分布列为

在给定T=t后, 对任意的一个样本

, 有

【答案】由几何分布性质知,

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该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如

这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”

的个数依次记为且

我们指出, 此种序列共有

, 这就是在

这里诸服从几何分布,

, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）

给定后

的条件联合分布.

即每一个出现的概率都是

这个条件分布还表明:

当已知统计量（

统计量的真实含义.

8． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本

）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

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