2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
2． 设
是来自泊松分布的一个样本.
（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1
）泊松分布
的充分统计量是，
它是的无偏估计.
若原假设
第 2 页，共 50 页
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下
则由
可得
不是一件易事.
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
所以势函数大.
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时
对给定的显著性水平有
即拒绝域W 中的临界
值
即当n=10时，若
则应拒绝原假设
譬如
，
，n=10
和
时，
有
的渐近分布
是的严格増函数. 由此可知，在原假设
上
在
处达到最
故
若令泊松分布
的
分位数为这里
的寻求还
所以在给定理时，
该检验的拒绝域为
第 3 页，共 50 页
3． 设随机向量（
令
）间的相关系数分别为且
证明:两两不相关的充要条件为
则
【答案】充分性:若
同理可得
由此得必要性:若由此得
4． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
5． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明
：
【答案】
第 4 页，共 50 页
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
, , 且X 与Y 相互独立, 令
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以