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一、证明题

1 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数

是偶函数, 从而

g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

与E

2． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

3． 如果 且.

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的

有

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的容量为

的样本中位数是证明

的密度函数关于

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

4． 设

成立, 结论得证. 是来自

的样本，α＞0已知，试证明，

是

于是

的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为

所以λ的费希尔信息量为这就是说的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

5． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

6． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

由此得

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

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又由

由此得结论.

7． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

8． 设随机变量

【答案】因为

所以

由此得

, 且X 与Y

的特征函数, 由唯一性定理知的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

9． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

10．设从均值为

方差为

因为

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

则

所以由X 与Y 的独立性得

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

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