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一、证明题

1． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

2． 设

证明:

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

3． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

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是充分统计量.

【答案】因为

服从大数定律.

的独立性可得

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是与

由此可以算得的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

5． 证明:容量为2的样本

【答案】

6． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

因为

的特征函数, 由唯一性定理知的方差为

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

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7． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

8． 设

不独立.

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关. 为证明X

是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到

由此可见

是

的无偏估计.

当

较大时，

拒绝原假设

是合理的.

故对

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，

当

在原假设由等式

成立下，有

可得

利用分布的分位数可确定临界值c.

时

，

确定. 为了确定c , 需要充分统计量

由此可

得

的分布.

或

者

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