2018年贵州大学数学与统计学院623数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点
2． 设
点集存在
又且
其中
与
可微.
在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为平面中的
在E 上一致连续.
,
就有
存在
, 因此
故复合函数
3． 证明:若f , g 均为和g , 则
其中
为f 的傅里叶系数,
为g 的傅里叶系数.
上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在
上
【答案】依题意, f ﹢g 与f ﹣g
均为
在E 上一致连续.
上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在
上分别一致收敛于f 使当
为D 上任意两个点. 由于在D 上一致连续, 从而对任给的只要
可微.
【答案】因为
存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
在D 上一致连续, 证明:复合函数
【答案】设点
, 使对一切
在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有
分别一致收敛于f ﹢g 和f ﹣g , 由帕塞瓦尔等式可知
两式相减即得
4．
设n 为正整数, x , y>0, 用条件极值方法证明:
【答案】
先求设令
解得
由于当即
5．
证明
:
含参量反常积分
收敛.
【答案】
（1
）令
有
根据定义,
. 取
有
（2）取
, 对于任意N>1, 取
, 使得
在
上一致收敛（其中
）, 在
内不一致
或
. 时, F 都趋于
所以
, 故F 必在惟一稳定点
, 故
处有最小值,
成立.
在条件x+y=a下的最小值.
故 6． 证明
有界函数.
7． 设f 为
（1）（2）
上的连续函数, 证明: 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是f （1）=0.
上连续, 故f 在即
在
上有界, 设上收敛, 且收敛于
（2）必要性 由
可得其极限函数g （x ）在
充分性
可考虑将因为f （l ）=0, 故当当
时,
时, 有
故对上述的当n>N时, 任意的
存在N , 当n>N时, 对一切
有
故
总有在
所以,
上一致收敛.
在
分成两部分讨论.
又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意
存在
上连续及
在
上一致收敛,
是R 上的有界函数.
于是
,
故
是R 上的
【答案】由平均值不等式可得
在
内不一致收敛.
【答案】 （
1）因f 在所以
上连续, 从而
.
二、解答题
8． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:
（1）（2）（3）（4）（5）