2018年贵州民族大学信息工程学院601数学分析A考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 己知
为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明
发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得
可以先取n=N+l, 注意到
递增，所以此时有
因为则
所以原命题成立.
2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则
, 则H 为
有限个邻域
由于
为有限点集
, 使得
所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S
在[-M, M]中至少有一个聚点.
3． 设f （x ）定义在[a, b]上
证明:存在子列
. 显然若S 有聚点, 则必含于
, 使得
中. 假设
为有限点集. 记
递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得
的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中
在x 0处有左、右导数; 令
, 使
又设
【答案】令则而
由致密性定理, 有收敛子列
使
令q=l—p , 则
4． 用有限覆盖定理证明根的存在定理, 即设f （X ）在闭区间[a, b]上连续, 且f （a ）f （b ）<0, 则存在（a , b ）,
使得
,
, 使
得
, 它构成了[a, b]的将区间[a, b]覆盖,
有
.
矛盾.
【答案】用反证法假设
不妨设f （x ）>0.由f （x ）在[a, b]上的连续性
,
,
均有
一个开覆盖.
由有限覆盖定理, 存在H 中有限个互不相交的开集即
, 且
注意到k 是有限个, 所以f （x ）在[a, b]上每一点的函数值都同号, 这与因此存在（a , b ）, 使得
5． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由（2）
6．
设级数
与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
让取遍[a, b]可得一个开集
得
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
7． 设f 在区间上有界, 记
证明
【答案】对任意的即
故
设为任意正数, 则存在于是有
故
使得
t
于是有
二、解答题
8． 求下列函数的极值:
【答案】（1）由
, 即
,
得f （x ）的稳定点为
, .
和
, 因为
,
, ,
,
由极值的第三充分条件知, f （x ）在x=0处不取极值. 因为由极值的第二充分条件知, f （x ）在（2）
处取极大值, 极大值为
由
；
得稳定点为.
因. 故x=l是f （x ）的极大值点,
极大值为
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