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一、证明题

1． 举例说明:瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛.

, 故瑕积分

故瑕积分 2． 设

【答案】

所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列

, 则

. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.

, 由极限的四则运算法则知

连续, 从而f （x , y）在D 上连续.

, 则

但

所以f （x , y ）在D 上不一致连续.

3． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为同时, 存在正整数当

时

. , 令

, 则使得当

时,

, 于是, 当n>N时,

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收敛, 但

发散

, 证明:

.

, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当

,

时

.

由于M 的任意性

, 故

（2）因为于是

, 所以对一切由（1）的结论得

即

对于任给的

, 存在正整数, 使得当

时,

4． 在

[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0,

1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

, 即

, 所以

, 存在正整数N , 使得当n>N时

,

. 即

.

从而时, 有

及

, 有

恒成立.

所以对于任意

取

当n>N时,

对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

存在优级数特别取,

有

而正项级数优级数

5． 已知

发散. 所以级数发散, 这与为优级数矛盾, 因此级数不存在

都是可微的,

, 2. 证明:

【答案】因为

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故原式成立.

6． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】

取目标函数拉格朗日函数为

, 约束条件为

.

对L 求偏导数,

令它们等于0

, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断并把目标函数

看作

是否为所求条件极值

,

可把条件与

的复合函数F （X ,

y ）. 于是

当

时,

由此可得稳定点为极大值点, 即有不等式

即

7． 证明:

在

上一致连续.

, 因为

上一致连续.

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看作隐函数

【答案】（1）证法一:致连续定理知, f （x ）在

在闭区间上连续, 据一