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一、证明题

1． 证明:任何有限数集都没有聚点.

【答案】用反证法. 设S 是一个有限数集. 假设是S 的一个聚点, 按照定义2, 在的任何邻域内都含有S 中无穷多个点, 这个条件是不可能满足的, 因为S 是一个有限集. 故任何有限集都没有聚点.

2． 证明函数

在区间

上不一致连续, 但是对于任意

则

上不一致连续.

则存在

取但是存在从而

时,

在区间当

上不一致连续. 时, 有

取即 3． 设

且

【答案】

由

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在上一致连续.

【答案】（1）方法一取从而

在区间

方法二 取虽然满足使得（2）当

时, 有在为

上一致连续. 上的连续函数列, 满足

证明

在

上一致收敛.

知, 对任意

的存

在

有

又由有

为[0, 1]上的连续函数列, 故存在

的开区间族

对任意的

由此得到满足上述要求的覆盖由开覆盖定理, 存在注意到对于每一个则对任意的从而

使得

为单调递增数列, 现令存在

有

4． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

5． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当又当由此可知当所以当故

时,

有

时, 有时, 有

.

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在[a, b]上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

. , 先证M （x ）在点时有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

右连续.

,

. 又MU ）是单调递增的,

时, 有

综上所述, M （x ）在点连续. 由的任意性知M （x ）在[a, b]上连续.

6． 设f 与g 都在[a, b]上可积, 证明

在[a, b]上也都可积.

【答案】由f （x ）、g （x ）可积知. 上也可积. 又

且可积函数的和、差、数乘仍可积, 所以M （x ）, m （x ）在[a, b]上均可积.

在[a, b]上可积, 从而

在[a, b]

二、计算题

7． 讨论下列函数在点（0, 0）的重极限与累次极限:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

趋于定点（0, 0）时,

这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时, 对应的极限值均不同, 因此, 函数时的重极限不存在, 但累次极限:

（2）函数的两个累次极限都不存在. 又

故

可见函数

的重极限存在且为零.

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【答案】（1）当动点（x , y ）沿着直线

当

（3）函数的累次极限为: