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一、证明题

1． 设f （x ）在

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

【答案】

,

由

, 有

对其取极限可得

由已知条件有

2． 设f 为R 上的单调函数, 定义是, g 的定义域是R , 由

于时,

于是当即当

, 即

时, 把y 限制在时,

, 证明g 在R 上每一点都右连续.

, 极限, 使得

当

,

右连续. 由的任意性知, g 在R 上每

都存在. 于

, 对于任

给的

. 内, 就有, 故g （x ）在

, 存

在

.

. 若

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理, 对一切

一点都右连续.

3． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点

由同理, 存在又因为存在

4． 设

在

使, 使得

证明:若m>0, v>0, 则

使得

, 并存在一点使得

使

证明至少存在一

【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在

得

.

. 于是有

上可导, 由拉格朗日中值定理知,

【答案】因为

且所以

5． 利用单调有界原理证明确界原理.

【答案】设S 是非空有上界的数集, M 是S 的一个上界. 若S 有最大值, 则最大值即为S 的上确界. 若S 无

最大值, 任取. 记左半区间为

. 数列

, 将.

然后将单调递增,

,

首先,

有

二等分, 若右半区间含有S 的点, 则记右半区间为二等分,

用同样的方法选记单调递减, 且

,

使得

, 否则

, 如此下去,

得一区间套

中含有S 的点, 在b n 的右侧不含S 的点. 由{an }单调递增有上界, 所以存在

, 往证为S 的上确界.

. 若不然, 则存在

, 使得

. 因为

所以存在正整数N ,

使得, 由

知, 当n 充

, 于是在b n 的右侧含有S 中的点, 矛盾, 故是S 的上界. 其次, , 于是存在, 使得分大时有

6． 设可微函数列在[a, b]上收敛

,

【答案】依题意

,

对任意且m

个小区间因为有

对任意

必存在某小区间

使

由微分中值定理, 可得

, 在[a, b]上作分割

的区间长度

满足

, 即为S 的上确界. 在[a, b]上一致有界, 证明:

在[a, b]]上一致收敛.

及任意

均有

在[a, b]上一致有界, 故存在M>0,

对一切

在[a, b]上收敛, 所以对于点存在N , 使得当n>N时, 对任意

即对任意从而

7． 设f （x , y ）为在[a, b]上一致收敛.

【答案】任取一个趋于

的递增数列

（其中

）, 考察级数

存在N , 当n>N时, 对任意有

在[a, b]]上一致收敛.

上连续非负函数,

在[a, b]上连续, 证明I （x ）

由于

上且连续, 从而且在[a, b]

上连续由狄尼定理得级势

在[a, b]上一致收敛, 由（a ）推得I （x ）在[a, b]上一致收敛.

二、解答题

8． 设

【答案】

9． 设

在点a 连续,

, 求

和

. 问在什么条件下

存在？

其中, f （z ）为可微函数, 求Fxy （x , y ）.

【答案】

故当且仅当

10．若L 是平面

时,

存在.

上的闭曲线, 它所包围区域的面积为S , 求

,

其中L 依正向进行. 【答案】因

故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得