当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1．

【答案】

试确定P 的值，使

且

则

有重根，并求其根.

（1）当所以x+2是（2）若

时，有

的三重因式，即则继续辗转相除，即

这时

的三个根为-2，-2，-2.

当即这时

2． 设给出一基:

是

时，有

的二重因式，再用

除

得商式x+8.故

的三个根为1，1, -8.

为数域K 上全体多项式作成的线性空间,

为由0及K 上次数小于n 的全体多项

式作成的n 维空间, 问:以下的对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？并

【答案】

又显然K 上多项式因为若

的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然.

都属于且线性无关:

于是又若于是

K 上n-1维线性空间, 即

则

则维子空间

.

的一个子空间, 又显然若

则即零空间,

若

且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意

则

线性表示, 因此,

是

即中每个多项式都可由

作成K 上线性空间显然,

它是

因此, 是K 上无限维线性空间, 而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）

.

为其一基（扩大

作成线性空间显然. 而且类似②易知, 是无限维线性空间, 又

的基的概念）.

3． 设矩阵

A 的伴随矩阵

且

【答案】用再由已知

其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B 。

左乘同时用A 右乘等式，可得

又因为

得

即所以可逆，从而由①式可解得

4． 设

（2）若

是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数, 证明:

的核

任一向量X 可以唯一表示为

（1）函数是V 的极大子空间.

下证

【答案】（1）显然S 是V 的子空间, 若T 是真包含S 的子空间, 则

由

则若

令

于是

故

从而

即S 是V 的极大子空间.

（2）由前面的证明知分解的存在性成立, 且

则

5． 设分块矩阵【答案】由

由代入上式立得唯一性得证.

是方阵，

知，

证明

由可得

注意到

两边取迹得

因此 6． 设

是两个实二次型且B 正定. 证明：

使

其中

的实根.

，使

（1）存在满秩线性变换

（2）上述的为

【答案】 （1） B 正定. B合同于E ，从而存在实可逆阵且

是实对称阵，从而存在正交阵

使

其中

且由①，②可得

为

的全部特征值. 令

则T 为实可逆阵，