2018年东北大学理学院814代数基础之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A , B, C , D 均为n 阶方阵且A , B可逆. 证明:存在可逆方阵P , Q使条件是
与
等价.
则
反之, 设
则因为A , B可逆且
故由此得
再根据矩阵多项式相等可得
2． 已知线性变换T 在基
下的矩阵为
从而
, C 与
相似. 于是存在可逆方阵Q 使
【答案】设有可逆方阵P , Q 使
且
的充要
求它在基
下的矩阵. 【答案】设T 在基过渡矩阵为
则
下的矩阵为A , 再设基
到基
的
由①式有
解之得
类似可求出其它
从而可求得
故
3． 设
空间
为数域K
上n
阶满秩方阵, 其中
是齐次线性方程组
【答案】因为A 满秩, 故
设今在
线性无关:设若
则
从而
为A 的两个子块（按行分块）. 证明:n 元列
的直和.
解空间为
（1）从而
的解空间
的解空间是零子空间, 可知
,
. 因此下证
则因为中各取一基
故
即（
1）线性无关. 但
维数是n
, 故
4．
若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证
【答案】设
则
，
于是
5．
设
求可逆阵P ,
使
为A 的若当标准形.
【答案】先求A 的若当标准形, 易证
于是
的初等因子组为
故
设可逆阵
使
即有